Scénario d’introduction au simulateur thermique

Qu'est-ce que l'échange thermique par conduction ?

Exemple de mise en oeuvre

Titre : Conduction thermique - Exemple d'introduction
Auteur(s) : Plateforme EDStar
Date : Janvier 2019
Description : Cet exemple en vidéo montre la création d'une scène où l'échange thermique par conduction dans des solides est mis en avant. Elle montre le processus de création et de configuration du système physique, ainsi que le calcul d'une température utilisant un solveur basé sur une méthode Monte-Carlo.

Dans la vidéo, pour illustrer les échanges thermiques par conduction dans les solides, nous proposons une configuration comportant un solide carré dont une partie centrale, un disque, est initialement à une température supérieure à celle du reste du solide :

  • le carré doit être le plus grand possible, pour laisser les chemins thermiques de conduction se propager indépendament de la frontière, comme si le solide était infini ;
  • le diamètre du disque doit être assez nettement plus petit que le côté du carré (au moins deux fois plus petit) ;
  • le disque est initialement isotherme à une température notée $T(0)$ ;
  • l’extérieur du disque est initialement isotherme à une autre température notée $T_{ext} < T(0)$ ;
  • les propriétés du solide doivent être les mêmes à l’intérieur et à l’extérieur du disque ;
  • la sonde de calcul doit être placée au centre du disque et on notera $T(t)$ la température qu’elle renvoie à l’instant d’observation $t$.
Figure 1 - Configuration de la scène exemple montrant les échanges thermiques par conduction

Pour cette configuration, en supposant le solide infini, le résultat est connu analytiquement. Au delà de l’illustration de la symbolique des échanges thermiques par conduction dans le simulateur thermique, nous pouvons donc valider la mise en œuvre.

La solution de l’équation de la chaleur est la suivante :

$$ \begin{equation} T(t) = T(0) \left[ 1 - e^{\frac{-r^2}{4 D t}} \right] + T_{ext} e^{\frac{-r^2}{4 D t}} \label{eq:solution-modele-intro-conduction} \end{equation} $$

ou encore

$$ \begin{equation} \frac{T(t) - T_{ext}}{T(0) - T_{ext}} = 1 - e^{\frac{-r^2}{4 D t}} \label{eq:solution-modele-intro-conduction-bis} \end{equation} $$

avec

  • $r$ le rayon du disque ;
  • $D=\frac{\lambda}{\rho C}$ le coefficient de diffusion du solide ;
  • $\lambda$ la conductivité thermique du solide ;
  • $\rho$ la masse volumique du solide ;
  • $C$ la capacité calorifique massique du solide.

Exemple de résultat

Dans la vidéo, nous prenons $r=1m$, $\lambda=1 Wm^{-1}K^{-1}$, $\rho=1500 kg/m^3$, $C=1500 J kg^{-1} K^{-1}$ et enfin $t=360000s$ (environ quatre jours). Si nous faisons le calcul avec ces valeurs, nous obtenons $D=4.44 \ 10^{-7} \ m^2s^{-1}$, ce qui conduit au résultat suivant :

$$ \begin{equation} \frac{T(t) - T_{ext}}{T(0) - T_{ext}} = 1 - e^{\frac{-1}{4 \times 4.44 \ 10^{-7} \times 360000}} = 0,7907 \end{equation} $$

A l’incertitude statistique près (voir la page dédiée à l’évaluation des incertitudes dans la méthode de Monte Carlo), cette valeur est bien celle obtenues lors du calcul effectué avec le démonstrateur.

Commentaire

A l’initial, une partie du solide (le disque central) est à une température supérieure au reste du solide qui est à $T_{ext}$. Si on ne choisi pas des temps d’observation trop élevés, comme la dimension du solide à l’extérieur du disque est plus grande que celle du disque, on peut admettre l’idée que le bord du carré reste à $T_{ext}$ pendant la simulation et c’est ce qui nous permet de retrouver la solution théorique décrite ci-dessus, qui a été établie pour un solide infini.

A l’instant initial, il y a une discontinuité de température entre le disque, à $T(0)$, et le solide l’entourant, à $T_{ext}$. La diffusion thermique va estomper cette discontinuité et dans les premiers instants, c’est surtout près de la frontière entre les deux parties du solide que la température va évoluer : la température dans le disque va baisser et la température à l’extérieur du disque va augmenter, mais tout celà près de la limite circulaire. Par contre, dans ces premiers instants le centre du disque ne va presque pas évoluer. Il faudra attendre des durées de l’ordre de la journée pour que la température au coeur du disque commence à baisser de façon appréciable.

Dans une pensée en espace de chemins, on part du centre du solide à l’instant d’observation et on imagine une marche aléatoire diffusive depuis cette position en remontant le temps jusqu’à l’instant initial. A cet instant initial, le marcheur diffusif se retrouve soit dans le disque, soit à l’extérieur du disque. Si il est dans le disque, on retient la température $T(0)$ (celle du disque à l’initial) et sinon on retient la température $T_{ext}$ (celle du reste du solide à l’initial). La température de la sonde est alors la moyenne de ces températures trouvées par les marcheurs.

A la subtilité près de l’inversion temporelle, c’est une simple traduction du fait que lorsqu’on dépose de l’énergie en un point dans un solide infini, celle-ci diffuse selon une loi gaussienne d’écart type $\sigma = \sqrt{2Dt}$. Ici, les marcheurs partent de la sondent et diffusent selon cette même loi gaussienne jusqu’à trouver les sources d’énergie initiales (le disque chaud ou le solide extérieur froid). Le terme $e^{\frac{-r^2}{4 D t}}$ qui apparait dans la solution théorique est simplement la probabilité que le marcheur partant du centre se retrouve finalement à l’extérieur du disque.

Qu'est-ce que l'échange thermique par convection ?

Exemple de mise en oeuvre

Titre : Convection thermique - Exemple d'introduction
Auteur(s) : Plateforme EDStar
Date : Janvier 2019
Description : Cet exemple en vidéo montre la création d'une scène où les échanges thermiques par convection ientre un fluide homogène et la paroi solide qui l'entoure sont mis en avant. Elle montre le processus de création et de configuration du système physique, ainsi que le calcul d'une température utilisant un solveur basé sur une méthode Monte-Carlo.

Dans la vidéo, pour illustrer les échanges thermiques par convection entre un fluide homogène et la paroi solide qui l’entoure, nous proposons une configuration avec une cavité fluide (carrée) au sein d’un solide :

  • le solide doit avoir une température imposée, notée $T_{solide}$ ;
  • le carré peut être de taille quelconque et son côté est noté $L$ ;
  • le fluide doit être initialement à une température $T(0)$ supérieure $T_{solide}$ ;
  • la sonde de calcul peut être placée n’importe où dans le carré et elle renverra la température $T(t)$ du fluide à l’instant $t$ (sous l’hypothèse d’un fluide parfaitement brassé, dans son refroidissement par échange avec le solide, le volume de fluide va en effet rester quasi isotherme à tout instant).
Figure 2 - Configuration de la scène exemple montrant les échanges thermiques par convection

Pour cette configuration le résultat est connu analytiquement. Au delà de l’illustration de la symbolique des échanges thermiques par convection dans le simulateur thermique, nous pouvons donc valider la mise en œuvre.

L’équation de conservation de l’énergie décrivant l’échange thermique par convection entre le fluide et le solide se ramène ici à la loi de refroidissement de Newton :

$$ \begin{equation} \frac{d T(t)}{d t} = -\frac{1}{\tau}\left(T - T_{solide}\right) \label{eq:modele-intro-convection} \end{equation} $$

avec

  • $\tau=\frac{\rho C S}{hP}$ le temps caractéristique du refroidissement du fluide ;
  • $\rho$ la masse volumique du fluide ;
  • $C$ la capacité calorifique massique du fluide ;
  • $h$ le coefficient d’échange thermique convectif à l’interface entre le fluide et le solide ;
  • $T(t)$ la température du fluide à l’instant $t$ ;
  • $T_{solide}$ la température du solide aux parois de la cavité fluide ;
  • $S=L^2$ la surface du carré ;
  • $P=4L$ le périmètre du carré.

La solution de l’équation \ref{eq:modele-intro-convection} est connue. La température du fluide décroit de façon exponentielle depuis la température initiale $T(0)$ vers la température du solide $T_{solide}$ et la vitesse de décroissance est donnée par le temps caractéristique $\tau$ : plus $\tau$ est élevé, plus il faudra de temps pour que la température du fluide se rapproche de la température du solide ; plus $\tau$ est faible, plus le refroidissement sera rapide.

$$ \begin{equation} T(t) = T(0) \exp\left( -\frac{t}{\tau} \right) + T_{solide} \left[ 1 - \exp\left( -\frac{t}{\tau} \right) \right] \label{eq:solution-modele-intro-convection} \end{equation} $$

ou encore

$$ \begin{equation} \frac{T(t) - T_{solide}}{T(0) - T_{solide}} = \exp\left( -\frac{t}{\tau} \right) \label{eq:solution-modele-intro-convection-bis} \end{equation} $$

Exemples de résultats

Avec un gaz

En paramétrant le fluide pour qu’il représente un gaz comme l’air à pression et température ambiante, comme dans la vidéo, avec $\rho=1kg/m^3$ et $C=1000J/K/kg$, et en prenant une cavité de côté $L=2m$ avec un coefficent d’échange $h=1W/m^2/K$, on obtient un temps caractéristique $\tau = 500s$ (environ huit minutes).

Donc pour $t$ en seconde, $$ \begin{equation} \frac{T(t) - T_{solide}}{T(0) - T_{solide}} = \exp\left( -\frac{t}{500} \right) \label{eq:solution-modele-intro-convection-gaz} \end{equation} $$

Grandeur Valeur
$t$ tel que $\frac{T(t) - T_{solide}}{T(0) - T_{solide}} = 0.5$ environ $347s$
$t$ tel que $\frac{T(t) - T_{solide}}{T(0) - T_{solide}} = 0.9$ environ $1151s$
Niveau de refroidissement pour $t=\tau$ environ $63.21\%$
$\frac{T(500s) - T_{solide}}{T(0) - T_{solide}}$, comme dans la vidéo environ $0.36788$

A l’incertitude statistique près (voir la page dédiée à l’évaluation des incertitudes dans la méthode de Monte Carlo), ces valeurs sont bien celle obtenues lors du calcul effectué avec le démonstrateur.

Avec un liquide

En paramétrant le fluide pour qu’il représente un liquide comme l’eau, comme dans la vidéo, avec $\rho=1000kg/m^3$ et $C=4000J/K/kg$, et en prenant une cavité de côté $L=2m$ avec un coefficent d’échange $h=100W/m^2/K$, on obtient un temps caractéristique $\tau = 20000s$ (environ cinq heures).

Donc pour $t$ en seconde, $$ \begin{equation} \frac{T(t) - T_{solide}}{T(0) - T_{solide}} = \exp\left( -\frac{t}{20000} \right) \label{eq:solution-modele-intro-convection-liquide} \end{equation} $$

Grandeur Valeur
$t$ tel que $\frac{T(t) - T_{solide}}{T(0) - T_{solide}} = 0.5$ environ $13863s$
$t$ tel que $\frac{T(t) - T_{solide}}{T(0) - T_{solide}} = 0.9$ environ $46052s$
Niveau de refroidissement pour $t=\tau$ environ $63.21\%$
$\frac{T(20000s) - T_{solide}}{T(0) - T_{solide}}$, comme dans la vidéo environ $0.36788$

A l’incertitude statistique près (voir la page dédiée à l’évaluation des incertitudes dans la méthode de Monte Carlo), ces valeurs sont bien celle obtenues lors du calcul effectué avec le démonstrateur.

Commentaire

Pour le liquide, par comparaison avec le gaz, on voit que les temps de refroidissement sont plus longs. Et pourtant le coeffcient d’échange convectif est plus fort ($h=100W/m^2/K$ au lieu de $h=1W/m^2/K$) et pour un niveau de température donné, les flux d’énergie à la frontière du solide sont donc plus élevés. L’échange convectif est plus intense, et pourtant le refroidissement a besoin de plus de temps pour s’oppérer. Cela vient de la capacité calorifique du liquide ($\{\rho C\}_{liquide} = 4 \ 10^6 J/m^3$) qui est beaucoup plus forte que celle du gaz ($\{\rho C\}_{gaz} = 1000J/m^3$). Pour faire baisser de façon équivalente la température d’un même volume de liquide et de gaz, il faut enlever beaucoup plus d’énergie au liquide qu’au gaz. Ici cela se traduit par le fait que même si $h$ est plus fort pour le liquide que pour le gaz, il faut attendre plus longtemps pour que les échanges convectifs avec le solide aient réussi à enlever au liquide l’énergie nécessaire à son refroidissement.

Qu'est-ce que l'échange thermique par rayonnement ?

Attention: L’outil de simulation thermique utilise une hypothèse de linéarisation, en fonction de la température, de la puissance du rayonnement émis par les surfaces. En effet en rayonnement les flux s’expriment à partir des températures élevées à la puissance 4. Il existe une possibilité de s’affranchir de cette non-linéarité mais cela fait que nos calculs ne seront précis que si les températures observées en chacun des points du système sont proches les unes des autres. Dans l’exemple qui suit développé dans la vidéo, la plage de température est $[0K - 1000K]$. Nous faisons ce choix pour des raisons didactiques, mais il s’agit typiquement d’une plage de température pour laquelle l’approximation de linéarisation n’est pas bonne. Si nous avions remplacé la température $0K$ par $800K$ par exemple, l’approximation aurait été au contraire très bonne.

Pour information, l’approximation de linéarisation est la suivante. La puissance émise par une surface $S$ noire de température $T$ est

$$ \begin{equation} \Phi_{emis} = S \sigma T^4 \label{eq:sigmaT4-exact} \end{equation} $$

$\sigma$ est la constante de Stefan-Boltzmann ($\sigma = 5.67 \ 10^{-8} W/m^2K^4$). La linéarisation consiste à développer la fonction $f(x) = x^4$ en série entière autour d’une valeur $x_0$ et ne conserver que les deux premiers termes~:

$$ \begin{equation} f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0) + ... \approx x_0^4 + 4 x_0^3 (x - x_0) \label{eq:linearisation-x4} \end{equation} $$

On peut appliquer cette approximation au flux $\Phi_{emis}$, avec $x_0 = T_{ref}$$T_{ref}$ est une température de référence que l’on choisi arbitrairement (par exemple la moyenne des températures imposées aux limites du système ou comme condition initiale). Cela conduit à

$$ \begin{equation} \Phi_{emis} \approx S \sigma T_{ref}^4 + S \ 4 \sigma T_{ref}^3 (T - T_{ref}) \label{eq:sigmaT4-linearise} \end{equation} $$

Exemple de mise en oeuvre

Titre : Rayonnement thermique - Exemple d'introduction
Auteur(s) : Plateforme EDStar
Date : Janvier 2019
Description : Cet exemple en vidéo montre la création d'une scène où les échanges thermiques par rayonnement sont mis en avant. Elle montre le processus de création et de configuration du système physique, ainsi que le calcul d'une température utilisant un solveur basé sur une méthode Monte-Carlo.

Dans la vidéo, pour illuster les échanges thermiques par rayonnement entre deux solides opaques noirs, nous proposons une configuration comportant deux disques solides disjoints entourés par du vide. En termes intuitifs, on peut se représenter un soleil pour le premier disque et une planète pour le second. La configuration est la suivante :

  • les disques peuvent avoir des rayons différents ;
  • les disques doivent être des solides ;
  • le premier disque doit avoir une température imposée, notée $T_{soleil}$ ;
  • le second disque a une température initiale notée $T(0) < T_{soleil}$ ;
  • le milieu environnant doit être défini comme fluide, et c’est en jouant sur les propriétés suivantes que nous simuleront le vide de type spatial ;
  • le milieu environnant doit avoir une température imposée $T_{ext} < T(0)$ ce qui fixe le rayonnement incident à l’infini (même si le simulateur permet d’ajuster la température radiative indépendament de la température du milieu, par défaut elles sont prises égales) ;
  • le coefficient d’échange convectif à l’interface du second disque doit être nul ($h=0$), ce qui simule le vide ;
  • la sonde de calcul doit être placée au centre du second disque et elle renverra la température $T(+\infty)$ du solide à ce point central à un temps d’observation infini (dans la vidéo, on prend un temps fini très élevé).
Figure 3 - Configuration de la scène exemple montrant les échanges thermiques par rayonnement

Pour cette configuration le résultat est connu analytiquement. Au delà de l’illustration de la symbolique des échanges thermiques par rayonnement dans le simulateur thermique, nous pouvons donc valider la mise en œuvre.

La température au centre du second disque (la planète) en régime stationnaire est la suivante ; elle est bien sûr indépendante de $T(0)$ puisqu’à l’inifini des temps, l’information sur la condition initiale sera perdue et que seules interviendront les températures imposées, i.e. celle du premier disque (le soleil) et celle de l’environnement (l’espace) :

$$ \begin{equation} T(+\infty) = F_{21} T_{soleil} + (1-F_{21}) T_{ext} \label{eq:solution-modele-intro-rayonnement} \end{equation} $$

ou encore

$$ \begin{equation} \frac{T(+\infty) - T_{ext}}{T_{soleil} - T_{ext}} = F_{21} \label{eq:solution-modele-intro-rayonnement-bis} \end{equation} $$

$F_{21}$ est le facteur de forme du second disque vers le premier (la fraction des photons supposés émis uniformément à la surafce de la planète qui atteignent le soleil, les autres atteingnant l’espace). Ce facteur de forme est connu analytiquement dans le cas de deux cylindres (nous avons parlé de disques jusqu’ici car la configuration est bidimensionnelle, mais le rayonnement est toujours tridimensionnel) :

$$F_{12}=\frac{1}{2\pi}\left(\pi+\sqrt{a^2-\left(b+1\right)^2} -\sqrt{a^2-\left(b-1\right)^2}+\left(b-1\right)\arccos{\left(\frac{b-1}{a}\right)}-\left(b+1\right)\arccos{\left(\frac{b+1}{a}\right)}\right)$$

avec $r_1$ le rayon du premier disque, $r_2$ le rayon du second disque, $d$ la distance entre les deux cercles, $b=\frac{r_1}{r_2}$ et $a=1+b+\frac{d}{r_2}$.

Exemple de résultat

Dans la vidéo, nous prenons $r_1=1m$, $r_2=0.5m$ et $d=2.6m$, ce qui donne les valeurs suivantes pour $a$ et $b$ :

$$b=\frac{1}{0.5}=2$$ $$a=1+2+\frac{2.6}{0.5}=8.2$$

Si nous faisons le calcul avec ces valeurs, nous trouvons le résultat suivant :

$$ \begin{equation}\begin{split} F_{21} &=& \, \frac{1}{2\pi}\left(\pi+\sqrt{8.2^2-\left(2+1\right)^2}-\sqrt{8.2^2-\left(2-1\right)^2}+\left(2-1\right)\arccos{\left(\frac{2-1}{8.2}\right)}-\left(2+1\right)\arccos{\left(\frac{2+1}{8.2}\right)}\right) \\ &=& \, \frac{1}{2\pi}\left(\pi+\sqrt{58.24}-\sqrt{66.24}+\arccos{\left(\frac{1}{8.2}\right)}-3\arccos{\left(\frac{3}{8.2}\right)}\right) \\ &=& \, 0.07864 \end{split}\end{equation} $$

et donc

$$ \begin{equation} \frac{T(+\infty) - T_{ext}}{T_{soleil} - T_{ext}} = 0.07864 \end{equation} $$

A l’incertitude statistique près (voir la page dédiée à l’évaluation des incertitudes dans la méthode de Monte Carlo), cette valeur est bien celle obtenue lors du calcul effectué avec le simulateur thermique.

Commentaire

Ici nous sommes déjà dans une configuration qui combine deux modes de transfert : la conduction dans le solide au sein de la planète et le rayonnement entre la surface de la planète et son soleil, ainsi qu’entre la surface de la planète et l’espace. Cependant, en régime stationnaire (à l’infini des temps) on trouve que la température au centre de la planète ne dépend pas de la conductivité de la planète. Elle ne dépend que du facteur de forme $F_{21}$ et donc seulement des effets radiatifs via la taille relative de la planète et de son soleil, ainsi que leur distance.

Ceci n’est vrai que parceque nous avons placé la sonde au centre de la planète. Ce résultat n’est facile à établir théoriquement mais on peut le deviner aisément en suivant les chemins partant du centre. Ils sont d’abord conductifs et la symétrie centrale fait que lorsque ces chemins basculent dans le mode radiatif, cela a lieu en des points qui sont distribués uniformément à la surface de la planète. Ensuite les chemins radiatifs trouvent soit le soleil, soit l’espace, et ils s’arrêtent puisque la température de surface du soleil et la température de l’espace sont connues. On voit donc que la température calculée sera une moyenne de températures qui seront soit $T_{soleil}$, soit $T_{ext}$, pondérée par la fraction des photons partant uniformément de la surface de la planète et atteignant l’un et l’autre corps, donc par définition $F_{21}$ et $1-F_{21}$. On voit que l’on retrouve bien la solution théorique à partir d’un simple raisonnement statistique sur le suivi des chemins.

Il est intéressant de noter que cette solution ne suppose pas du tout que la surface de la planète est isotherme (ce que l’on pourrait croire en voyant apparaître le facteur de forme qui est défini pour des photons supposés émis uniformément à la surface). La seule idée est que les chemins conductifs partant du centre atteingnent la surface de façon uniforme. Pour s’en convaincre, il suffit de lancer un calcul en plaçant la sonde en un point près de la surface du côté de la planète qui ne voit pas son soleil : la température sera plus basse qu’au centre. Inversement, en plaçant la sonde en un point près de la surface du côté de la planète qui voit son soleil, la température sera plus élevée qu’au centre. On pourra ainsi se convaincre que la planète n’est pas du tout isotherme.

Scène exemple de couplage thermique

Dans la vidéo, pour illustrer les échanges thermiques impliquant les trois modes de transfert (conduction, convection et rayonnement), nous proposons une configuration comportant un solide carré, initialement à une température $T_{init}$ inférieure à la température $T_{ext}$ du fluide environnant (température imposée). Le solide va donc se rechauffer au contact du fluide jusqu’à atteindre la température $T_{ext}$ et on s’intéresse à l’évolution temporelle de la température du solide à différentes positions.

De façon à visualiser les chemins traversant des interfaces et passant d’un mode de transfert thermique à une autre, le solide contient trois inclusions circulaires : une en haut à gauche constituée d’un solide plus isolant (conductivité 5 fois inférieure à celle du solide de référence), une en haut à droite constituée d’un solide plus conducteur (conductivité 5 fois supérieure à celle du solide de référence) et une en bas au centre qui est une inclusion fluide, la surface intérieure de cette inclusion étant noire (de même que la surface extérieure du carré). Ces trois inclusions sont initialement à la même température $T_{init}$ que le solide de référence.

Figure 4 - Configuration de la scène exemple montrant un couplage
Figure 5 - Résultat d’un calcul

Commentaire

Etant données les dimensions de la scène ($6 m)$ et les propriétés que nous avons choisies (masse volumique de l’ordre d’une tonne par $m^3$, capacités calorifiques massiques et conductvités typiques de matériaux compacts usuels), si on se place au centre du carré, il faut des temps de l’ordre de 40 jours ($3.6 \ 10^6 s$) pour atteindre des niveaux de refroidissement significatifs. Nous invitons donc les utilisateurs à faire des tests pour $3.6 \ 10^5 s$ et $3.6 \ 10^6 s$ en ne traçant qu’un seul chemin. En relançant plusieurs fois le calcul, on se fait une idée de toute la diversité des chemins possibles, sachant que ces chemins se terminent tous

  • soit dans le carré, car en remontant dans le temps le chemin a trouvé la condition initiale sans parvenir à sortir du carré (il renvoie alors la température initiale $T_{init}$, points rouges) ;
  • soit dans le fluide environnant, car il a atteint la surface du carré et s’est poursuivi par un échange convectif (il renvoie alors la température extérieure $T_{ext}$, points bleus à la surface du carré) ;
  • soit à l’infini, car il a atteint la surface du carré et s’est poursuivi par un échange radiatif (il renvoie alors la température extérieure $T_{ext}$, chemins radiatifs rouges à l’extérieur du carré atteingant la limite de la scène).

Comme dans les exemples précédents, si on suit on nombre suffisant de chemins, la température au point de départ de ces chemins, à l’instant d’observation retenu, est estimée est prenant la moyenne des températures renvoyées par chaque chemin, et la précision de cette estimation statistique décroit lorsqu’on augmente le nombre de chemins.

Sur cet exemple, il est intéressant de regarder ce que font les chemins lorsqu’ils atteignent une interface. On voit lorsqu’un chemin arrive à la frontière de la zone plus isolante, la probabilité qu’il reparte dans le solide principal est plus élevée que celle qu’il pénètre dans l’isolant. Il en va de même lorsqu’un chemin a pénétré dans l’isolant et retrouve la frontière, mais cette fois venant de l’intérieur : la probabilité qu’il retourne dans le solide principal est plus élevée que celle qu’il reste dans l’isolant. Au total, on voit que les chemins visitent peu souvent et restent peu longtemps dans la zone isolante.

Pour la zone plus conductrice, il se produit exactement l’inverse : la probabilité d’entrer est forte et la probabilité de ressortir est faible. Dans leur marche aléatoire diffusive, les chemins ont donc tendance à beaucoup explorer donc la zone conductive.

A la frontière de l’inclusion fluide, il ne s’agit pas d’une interface entre un solide et un autre solide, mais entre un solide et un fluide, sachant que la surface du solide est une surface noire. Pour un chemin atteignant cette interface, l’alternative n’est donc pas entre deux marches aléatoire diffusives, mais entre

  • une poursuite de la marche aléatoire diffusive (conduction dans le solide),
  • la naissance d’un chemin convectif,
  • ou la naissance d’un chemin radiatif.

Effectivement, on observe bien des chemins conductifs qui atteignent la surface de l’inclusion fluide et qui repartent en conduction à l’intérieur du carré, d’autres qui se poursuivent par de la convection (traits bleus) et d’autres par du rayonnement (traits rouges). Pour bien saisir point de vue aléatoire qui conduit à cette alternative statistique, il suffit d’écrire la continuité des flux en un point de température $T$ à cette frontière solide/fluide :

$$\varphi_{conduction} = \varphi_{convection} + \varphi_{rayonnement}$$

avec

  • $\varphi_{conduction} \approx \lambda \frac{T_{\delta} - T}{\delta}$$T_{\delta}$ est la température à une distance $\delta$ à l’intérieur du solide, proche de l’interface (loi de Fourier sous une approximation de linéarisation du champ de température en proche frontière) ;
  • $\varphi_{convection} = h(T-T_F)$$T_F$ est la température du fluide ;
  • $\varphi_{rayonnement} = h_{R}(T-T_R)$$T_R$ est la température radiative.

En remplaçant les trois flux par leur expression, l’équation de continuité des flux donne

$$T = \frac{\frac{\lambda}{\delta}}{\frac{\lambda}{\delta} + h + h_R} T_{\delta} + \frac{h}{\frac{\lambda}{\delta} + h + h_R} T_F + \frac{h_R}{\frac{\lambda}{\delta} + h + h_R} T_R$$

La température de l’interface est donc une somme pondérée de la température à $\delta$ dans le solide, la température du fluide et la température radiative. De façon à adopter un point de vue statistique, on introduits trois probabilités correspondant aux coefficients de pondération :

$$P_{conduction} = \frac{\frac{\lambda}{\delta}}{\frac{\lambda}{\delta} + h + h_R}$$

$$P_{convection} = \frac{h}{\frac{\lambda}{\delta} + h + h_R}$$

$$P_{rayonnement} = \frac{h_R}{\frac{\lambda}{\delta} + h + h_R}$$

et la somme pondérée devient une moyenne :

$$T = P_{conduction} T_{\delta} + P_{convection} T_F + P_{rayonnement} T_R$$

C’est cette moyenne qui justifie le tirage aléatoire de l’un parmis les trois modes de transfert possibles pour la poursuite d’un chemin lorsqu’il atteint l’interface. Si la température $T$ de l’interface était connue, le chemin s’arrêterait et renverrait cette température. Mais cette température n’est accessible que comme une moyenne de $T_{\delta}$, $T_F$ et $T_R$ et en termes algorithmique cela se traduit par le fait que l’on tire aléatoirement l’un de ces trois choix possibles, selon leur probabilités repsectives $P_{conduction}$, $P_{convection}$ et $P_{rayonnement}$ :

  • si la conduction est retenue, alors le chemin saute à une distance $\delta$ de la frontière et déclenche une marche aléatoire diffusive dont l’objectif est d’évaluer $T_{\delta}$ ;
  • si la convection est retenue, alors le chemin se poursuit dans le fluide de façon à évaluer $T_F$ ;
  • si le rayonnement est retenu, alors le chemin se poursuit avec le tirage aléatoire d’une direction de propagation radiative (un chemin optique) de façon à évaluer $T_R$ (qui est lui-même une moyenne des températures au bout de tous les chemins optiques partant du point considéré).